今天刷到了视频【动态演示】动量，弹簧模型，双杆约束型，难度大，其题目如下：

视频先前讲述了提问者(一名学生)与一位老师的分析，然后通过作动态图验证学生的做法是正确的。那么这题具体该如何分析呢？错方的错误又位于何处？以这篇专栏展开详细的论述。

首先来看这道题的

(资料图片)

受力分析：

我们可以采用微元的思想，从开始经过了极小的一段时间

ps:本想写的，但考虑到是高中题所以写了，方便理解就好

那么就向右运动了微小的一段距离，则弹簧的下端会稍微偏右，如下图所示：

由于弹簧被压缩，故其对A,B均为“推开”的效果(推力沿恢复形变的方向)

对小球B：这时弹簧对B的作用力斜向右下方，其中竖直分量与杆对其的支持力相平衡，水平分量向右，因此随后一个阶段B向右做加速运动。

对小球A：这时弹簧对A的作用力斜向左上方，其中竖直分量与杆对其的支持力相平衡，水平分量向左，因此随后一个阶段A向左做加速运动。

所以得出结论：

A刚开始会向左运动！

那么那位同学的老师的做法错在何处呢？我隐约看了看那两张图，立刻发现了问题所在：

从第二张图可以看出这位老师的错因是识别错模型了。这明显不是这种简单的弹簧连接体模型。至于具体数字比较模糊难看，所以大致从以下几点来解释：

(1)如果是图中这种弹簧连接体，那么要让物块A,B在开始前静止，弹簧就必须处于原长。否则弹力不为0，(又因为地面光滑)则A,B具有加速度，不可能静止

(2)在弹簧处于原长后，给位于弹簧左边的B一初速度，那么取微小的一段来研究，那么弹簧会受到微小的压缩，如下图所示：

既然弹簧受到了微小的压缩，那么对A,B就都具有"推开"的效果。

因此随后一个阶段A会向右做加速运动，而B会向右做减速运动

ps:为什么B也是向右呢？因为刚刚给了B一个向右的初速度

在这个模型的这个条件下，A一开始才只会向右运动

这种模型下的这个情形与原题中的情形差别是很大的，究其原因，最直接的是弹簧的摆放位置决定了两个物体的受力。这一点相信都毋庸置疑了

同时这也就体现物理题灵活的地方所在，它要求你把受力分析的(抽象的)思维框架掌握，而不是单纯生搬硬套的

分析完了争议以及错因，我们再来解决一开始的这道题目：

分析A选项：

对A,B以及弹簧组成的系统整体分析，水平方向不受外力，竖直方向重力与支持力平衡，因此整个系统所受合外力为0，故系统动量守恒。

由于没有除自身重力和弹力以外的力对系统做功，故机械能守恒

综上，A正确

分析B,C选项：

取向右为正方向

由开始到题所示的状态，有：

动量守恒：①

能量守恒：②

其中，代入①解得：

故此时A水平向左的速度大小为2v，B选项错误

再将代入②解得：，C选项正确

分析D选项：

由题意知，开始时弹簧压缩量为，由上面计算知此时弹性势能为

当弹簧与导轨夹角为时，弹簧长度为，则弹簧伸长量为，故由开始到题所示的状态，弹簧的弹性势能相等

由开始到题所示的状态，有：

动量守恒：③

能量守恒：④

其中⑤

⑤代入④并整理得：

ps:红/蓝两种颜色表示两个未知数

解得：

下一步就是对这两组解进行讨论，看是否满足条件

而答案选择直接舍掉第一组解，大概率是误以为第一组解只存在于有刚开始的状态。

而事实上当A位于最左端时，此刻也满足A速度为0，B速度为v(方向水平向右)

如上图，视频中的动画也证明了这点

这就是答案疏忽之处，没有考虑到其他状态也有可能是

综上，D答案是错误的

至于更具体的分析我也暂时还没相到，就先留个问题后续再思考。可以先看原视频，动画直述最直观了

分析完此题，

再来分析视频后半部分的拓展

刚才我们分析的是一开始弹簧被压缩的情形，那么如果改为一开始弹簧被拉伸，又该如何分析呢？

分析方法是一样的，还是采用微元的思想，从开始经过了极小的一段时间

那么就向右运动了微小的一段距离，则弹簧的下端会稍微偏右，如下图所示：

由于弹簧被拉伸，故其对A,B均为“拉进”的效果(拉力沿恢复形变的方向)

对小球B：这时弹簧对B的作用力斜向左上方，其中竖直分量与杆对其的支持力相平衡，水平分量向左，因此随后一个阶段B向右做减速运动。(又由于B有初速度)

对小球A：这时弹簧对A的作用力斜向右下方，其中竖直分量与杆对其的支持力相平衡，水平分量向右，因此随后一个阶段A向右做加速运动。

因此这种情况就是一开始A,B均向右运动

从而这就解释了视频03:54~04:42呈现的3中情况中，前两种情况刚开始A向右运动，而最后一种情况刚开始A向左运动的原因。

可见微元思想对于理解瞬时运动是极其重要的。也是从微观角度判断物体运动走势的一种方法。

至于进一步控制变量探究其他参量的影响，估计就得费不少“成本”了，笔者也不懂计算机，只能先画个蓝图(写个微分方程)让热心的编程大佬帮忙解决了[滑稽]

好了，下面的部分认真备考的高考党们可以跳过了[滑稽]

探究参量的影响

设可调控的参量：小球A,B的质量分别为，两杆间距为，弹簧原长为，劲度系数为

对任意时刻，有：

弹簧长度

则有向形变量为：

ps:引入"有向"形变量是为了方便描述弹力方向。"有向"形变量>0表示弹簧被拉伸；"有向"形变量<0表示弹簧被压缩

对A球受力分析，则当(即弹簧被拉伸)时，A所受弹力大小为，方向与向量同向；

当(即弹簧被压缩)时，A所受弹力大小为，方向与向量反向；

于是取与同向的单位向量

对乘以系数，刚好就能得到A所受弹力的方向

即伸缩的模长满足弹力大小，其正负也满足前文的方向

因此A求所受的弹力矢量式为：

其中竖直方向的分量会与杆对A的支持力相平衡，因此水平方向分量也即小球A的合力，于是由牛二，有：

再对B受力分析，而由于弹力对于A,B而言可视为内力(相互作用力)，故B所受合力与A所受合力始终等大反向(即弹力水平分量始终等大反向)

即

将加速度改为位移的二阶导，即，于是得到了描述运动的微分方程组：

目标是通过这个方程组以及初值解出的解析式，不过这复杂程度估计只能用数值解了罢(

通过这篇专栏，相信这么枯燥的文章对读者而言知识的收获率不会太高。不过我不追求人人都赞同，只是希望告诉大家(包括笔者自己)一个道理：求学过程中独立思考的精神是必不可少的，当你发现你绞尽脑汁分析都未想明白一个问题(或与答案有明显冲突)时，质疑其也不为过。毕竟不管是莘莘学子中的你和我还是老师或者编写答案的命题者，都不是圣人，不会万无一失，犯错是难免的。犯错后知道分析错因以及规避方法，这个错就不会白犯。

好了，感谢你听完一物理菜鸡的哔哔，告辞！[滑稽]

顺便艾特视频作者帮忙进行核验~

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